【機械部門】技術士：R6

関数\(F(s)\)を逆ラプラス変換するために、部分分数分解を行う。

$$F(s) = \frac{s+1}{(s+2)^2+1} = \frac{s+2}{(s+2)^2+1}-\frac{1}{(s+2)^2+1} $$

したがって、原関数\(f(t)\)は、

$$f(t) = e^{-2t}(\cos{t}-\sin{t})$$

【解答：①】

特性方程式は次式となる。

$$ s^2+5s+6 = (s+2)(s+3) = 0 $$

$$ s = -2, -3 $$

システムの安定性の条件は、すべての極の実部が負であることである。

今回求まった極 \(-2\) と \(-3\) はいずれも負の実数である。

したがって、この系は安定である。

【解答：②】

フィードバック結合の公式を用いる。

【解答：⑤】

ラグラジアン\(L=T-U\)を原点を支点として考える。

並進運動のエネルギーと回転運動のエネルギーを足し合わせた運動エネルギー\(T\)は次式となる。

$$T=\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}mr^2{\dot{\theta}}^2$$

重力による位置エネルギーとばねの弾性エネルギーを足し合わせた位置エネルギー\(U\)は次式となる。

$$U=-mgr\cos{\theta}+\frac{1}{2}k(r-L)^2$$

【解答：④】

慣性系で力のつり合いを考える。

【解答：⑤】

減衰比 \(\zeta\) は次式で表せる。

$$\zeta=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$

臨界減衰は、\(\zeta=1\)の場合である。

よって、\(c\) について式を整理して \(\zeta=1\) と \(m\) と \(k\) の値を代入する。

【解答：③】

角運動方程式は次式となる。

$$I\ddot{\theta}+ka^2\theta=0$$

ここで、\(I\) はO点周りの慣性モーメントである。

\(I\) は平行軸の定理を用いると、一様棒の場合は次式となる。

$$I=I_G+\left(\frac{l}{2}\right)^2 m = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{4} = \frac{ml^2}{3}$$

よって、回転運動の固有角振動数 \(\omega_{n}\) は次式となる。

$$\omega_{n}=\sqrt{{\frac{ka^2}{\frac{\rho Al^3}{3}}}}=\sqrt{{\frac{3ka^2}{\rho Al^3}}}$$

【解答：①】

水平方向の運動量保存則を考える。

$$0=mv_x+2mV$$

$$v_x=-2mV$$

これを満たす選択肢は①か③しかない。

また、\(V\)が正であることは自明であるため反発係数の式を立式するまでもない。

【解答：③】

オットーサイクルの熱効率 \(\eta\) は次式で表せる。

$$\eta=1- \frac{1}{{\varepsilon}^{\kappa-1}}$$

圧縮比 \(\varepsilon=9\) と比熱比 \(\kappa=1.5\) の値を代入する。

【解答：②】

２次元の流れの場合、渦度は次式で求められる。

$$\omega=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$$

【解答：③】

次元解析を行い、無次元量を作る。

$$d=[m]$$

$$U=[m/s]$$

$$f=[1/s]$$

【解答：④】

壁から流れ出る流速を\(u\)として、ベルヌーイの定理を立式する。

$$\rho g h=\frac{1}{2}\rho u^2$$

$$u=\sqrt{2gh}$$

【解答：④】